Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Лекции по численным методам. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений 5. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ. ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько решение обыкновенных дифференциальных уравнений от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом:где x — независимая переменная, - i-ая производная от искомой функции. Общее решение ОДУ n—го порядка содержит n произвольных постоянныхт. Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: решение обыкновенных дифференциальных уравнений Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными. Примеры постановки задачи Коши: Примеры краевых задач: Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений. Численные методы решения задачи Коши решение обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ первого порядка Постановка задачи. Интегрируя уравнение на отрезкеполучим Вполне естественным но не единственным путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой—либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядкато получим явную формулу Эйлера:. Порядок расчетов: Знаянаходимзатем т. При достаточно малом шаге h ордината этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значениядолжна мало отличаться от ординаты y x 1 решения y x задачи Коши. Через эту точку снова проведем прямуюкоторая приближенно отражает поведение касательной к в точке. В итоге для i—й точки получим формулу Эйлера. Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Если использовать формулу правых прямоугольников:то придем к методу. Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для решение обыкновенных дифференциальных уравнений неизвестного значения по известному значению требуется решение обыкновенных дифференциальных уравнений уравнение, в общем случае нелинейное. Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Модифицированный метод Эйлера: в данном методе вычисление состоит из двух этапов: Данная схема называется еще методом предиктор — корректор предсказывающее — исправляющее. На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью hа на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности. Методы Рунге — Кутта: идея построения явных методов Рунге—Кутты p—го порядка заключается в получении приближений к значениям y x i +1 по формуле видагде ……………………………………………. Здесь a nb njp n, — некоторые фиксированные числа параметры. При построения методов Рунге—Кутты параметры функции a nb njp n подбирают таким образом, чтобы получить нужный порядок решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Схема Рунге — Кутта четвертого порядка точности: Пример. Рассмотреть три метода: явный метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера, метод Рунге — Кутта. Точное решение: Расчетные формулы по явному методу Эйлера для данного примера: Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера: Расчетные формулы метода Решение обыкновенных дифференциальных уравнений — Кутта: x y1 y2 y3 точное 0 1. Видно, что самым точным является метод Рунге — Кутта. Численные методы решения систем ОДУ первого порядка Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка. Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка: Явный метод Эйлера: Модифицированный метод Эйлера: Схема Рунге — Кутта четвертого порядка точности: К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка Введем вторую неизвестную функцию. Тогда задача Коши заменяется следующей: Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка: Явный метод Эйлера: Модифицированный метод Эйлера: Метод Рунге — Кутта: Схема Эйлера: X y z y теор z теор y-y теор 0 1 0 1 0 0 решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда существует единственное решение поставленной задачи. К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно. Такая замена называется разностной аппроксимацией. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений. Для аппроксимации замены первой производной можно воспользоваться формулами: - правая разностная производная, - левая разностная производная, - центральная разностная производная. Все эти определения следуют из понятия производной как предела:. Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной: 3 Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка. Погрешностью аппроксимации n- ой производной называется разность:. Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной: Аналогично и для левой разностной производной. Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации. Аппроксимация второй производной по формуле 3 также имеет второй порядок аппроксимации. Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу 12 и заменим в 1 производные:. В результате получим: 4 Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т. Итак, вместо дифференциальных уравнений 12 получена система линейных уравнений для определения в узлах сетки. Схему можно представить в виде: т. Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи. Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений метод прогонки для СЛАУ: 1 Решение данной системы ищем в виде: 2 Подставляя в первое уравнение, получим: Здесь учтено, что данное решение обыкновенных дифференциальных уравнений должно выполняться при любом Так как3 то подставляя 3 во второе уравнение, получим: Сравнивая с 2 получим. Таким образом, можно найти все. Тогда прогонка корректна и устойчива. При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть ни что иное, как условие диагонального преобладания. Для нашей краевой задачи имеем : Тогда:, Для нашей задачи условие устойчивости имеет вид:. Найти решение задачи: Выпишем разностную схему Условие устойчивости примет вид Возьмем. Тогда Или Формулы прогонки были получены для СЛАУ 1 : Здесь x замены на u. Следовательно, Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим решение обыкновенных дифференциальных уравнений виде таблицы: I a i c i b i f i alfa i beta i u i 1 51 35 0. Если забыли формулы, то их можно легко вывести. Главное запомнить основную формулу: Прямой ход Обратный ход На практике часто граничные условия решение обыкновенных дифференциальных уравнений иметь более общий вид. Рассмотрим следующую краевую задачу: Найти решение ОДУ 2-го порядкаудовлетворяющую краевым условиям: В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и решение обыкновенных дифференциальных уравнений условия. Аппроксимация: В результате получим разностную схему: Или Мы получили СЛАУ типа 5 с трехдиагональной матрицей, решение которой также можно найти методом прогонки.